Vajon lehetséges-e hidat verni a klasszikus mechanika jól ismert, intuitív világa és a kvantummechanika rejtélyes, valószínűségi természetű jelenségei közé, különösen olyan esetekben, amikor az egzakt analitikus megoldások elérhetetlenek? A kvantumvilág mélységeinek feltárásakor gyakran találkozunk olyan rendszerekkel, amelyek Schrödinger-egyenletét szinte lehetetlen zárt formában megoldani. Ilyenkor lépnek előtérbe a különféle közelítő módszerek, amelyek közül az egyik legfontosabb és leggyakrabban alkalmazott eljárás a Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) közelítés, mely egy elegáns és mélyreható eszközt kínál a féligklasszikus határ megértéséhez és a kvantummechanikai problémák kezeléséhez.
A kvantummechanika kihívásai és a közelítések szükségessége
A kvantummechanika alapegyenlete, a Schrödinger-egyenlet, a mikrovilág jelenségeinek leírásában kulcsfontosságú. Elméletileg minden kvantumrendszer viselkedését megjósolhatja, ha ismerjük a potenciálfüggvényt. A gyakorlatban azonban csak nagyon kevés, idealizált potenciálfüggvény esetén adható meg az egyenlet egzakt, analitikus megoldása, mint például a szabad részecske, a harmonikus oszcillátor vagy a hidrogénatom esetében.
Amikor a potenciálfüggvény bonyolultabb, vagy időfüggő, az egzakt megoldás rendkívül nehézzé, vagy akár lehetetlenné válik. Ilyenkor a fizikusok és mérnökök közelítő módszerekhez fordulnak. Ezek a módszerek lehetővé teszik a rendszer kvantumos viselkedésének megbízható becslését, anélkül, hogy a teljes matematikai komplexitással meg kellene birkózni.
A közelítő módszerek létfontosságúak a modern fizika számos területén. Nélkülük alig tudnánk megérteni olyan jelenségeket, mint az atomok és molekulák szerkezete, a szilárdtestek elektronikus tulajdonságai, vagy a magreakciók dinamikája. A WKB közelítés ezen eszközök sorában foglal el kiemelkedő helyet, különösen ott, ahol a rendszer féligklasszikus jellege dominál.
A WKB közelítés története és eredete
A WKB közelítés nem egyetlen tudós munkájának eredménye, hanem több, egymástól függetlenül dolgozó fizikus és matematikus hozzájárulásának összefonódása. Gyökerei a 19. század végéig nyúlnak vissza, amikor a klasszikus mechanika és az optika hullámegyenleteinek közelítő megoldásait keresték.
Az elnevezés három tudós nevéhez fűződik: Gregor Wentzel (1926), Hendrik Kramers (1926) és Léon Brillouin (1926) mindannyian, egymástól függetlenül, alkalmazták ezt a féligklasszikus közelítést a kvantummechanikai problémákra. Érdemes megemlíteni, hogy hasonló gondolatokat már korábban is megfogalmaztak, például Joseph Liouville (1837) és Carl Friedrich Gauss tanítványa, Friedrich Wilhelm Bessel (1844) munkásságában, valamint Harold Jeffreys (1923) is részletesen kidolgozta a módszert. Ezért néha JWKB közelítésnek is nevezik, Jeffreys nevével kiegészítve.
A módszer alapja a klasszikus mechanika Hamilton-Jacobi elméletében keresendő, amely a mozgást egy hatásfüggvény segítségével írja le. A kvantummechanikában a hullámfüggvény fázisát és amplitúdóját próbáljuk meg közelíteni a klasszikus hatásfüggvény és annak korrekciói alapján, kihasználva a Planck-állandó kis értékét.
Az elmélet alapjai: a féligklasszikus határ
A WKB közelítés lényege abban rejlik, hogy a kvantummechanikai rendszereket egy olyan határhelyzetben vizsgálja, ahol a kvantumos effektusok még jelen vannak, de bizonyos értelemben már „nagyon közel” vagyunk a klasszikus mechanikához. Ezt nevezzük féligklasszikus határnak.
A kulcsmegfigyelés az, hogy a kvantummechanikai jelenségek akkor válnak dominánssá, ha a részecske de Broglie hullámhossza $(\lambda = h/p)$ összemérhető a potenciál változásának jellemző skálájával. Ha a de Broglie hullámhossz sokkal kisebb, mint a potenciál jelentős változásának távolsága, akkor a részecske viselkedése nagymértékben hasonlít a klasszikus részecskékére.
A WKB módszer pontosan ezt a helyzetet aknázza ki. Feltételezi, hogy a hullámfüggvény fázisa gyorsan, az amplitúdója viszont lassan változik térben. Ez lehetővé teszi a Schrödinger-egyenlet megoldásainak közelítését egy olyan sorfejtés segítségével, amely a Planck-állandó $(\hbar)$ kis hatványait tartalmazza.
„A WKB közelítés a hidat képezi a kvantummechanika és a klasszikus fizika között, lehetővé téve a bonyolult rendszerek viselkedésének megragadását a féligklasszikus tartományban.”
A hullámfüggvény alakja a WKB közelítésben
A WKB közelítés alapja egy speciális alakú hullámfüggvény feltételezése. Egy dimenzióban a stacionárius Schrödinger-egyenlet $\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\right)\Psi(x) = E\Psi(x)$. A WKB közelítésben a hullámfüggvényt az alábbi exponenciális formában keressük:
$\Psi(x) = e^{iS(x)/\hbar}$
ahol $S(x)$ egy komplex függvény, amelyet a klasszikus hatásfüggvény analógiájára vezetünk be. Ez a feltételezés lehetővé teszi a Schrödinger-egyenlet átalakítását egy olyan formába, amely könnyebben kezelhető sorfejtéssel.
Az $S(x)$ függvényt a Planck-állandó $(\hbar)$ hatványai szerint fejtjük sorba:
$S(x) = S_0(x) + \hbar S_1(x) + \hbar^2 S_2(x) + \dots$
Ez a sorfejtés adja meg a WKB közelítés alapját. A nulladik rendű tag, $S_0(x)$, a klasszikus hatásfüggvényhez kapcsolódik, míg a magasabb rendű tagok a kvantumos korrekciókat írják le. A legtöbb esetben elegendő az első két tagot figyelembe venni a kielégítő pontosság eléréséhez.
A Schrödinger-egyenlet átalakítása és a WKB feltétel
A feltételezett hullámfüggvényt behelyettesítve a Schrödinger-egyenletbe, és elvégezve a deriválásokat, az alábbi egyenletet kapjuk az $S(x)$ függvényre:
$\frac{1}{2m} (S'(x))^2 – \frac{i\hbar}{2m} S”(x) + V(x) = E$
Ez az egyenlet még mindig nehezen megoldható, de a sorfejtés segítségével már kezelhetőbbé válik. A WKB közelítés lényege a Planck-állandó $(\hbar)$ kis paraméterként való kezelése, amely lehetővé teszi a perturbációszámításhoz hasonló megközelítést.
A WKB feltétel, amely az elmélet érvényességének alapja, azt mondja ki, hogy a potenciálfüggvénynek viszonylag lassan kell változnia a részecske de Broglie hullámhosszához képest. Matematikailag ez a feltétel az alábbi formában írható fel:
$\left| \frac{\hbar}{p(x)} \frac{dp(x)}{dx} \right| \ll 1$
Ahol $p(x) = \sqrt{2m(E-V(x))}$ a klasszikus impulzus. Ez a feltétel biztosítja, hogy a hullámfüggvény amplitúdója és fázisa ne változzon drasztikusan egy de Broglie hullámhossznyi távolságon belül, így a közelítés érvényes marad.
A WKB hullámfüggvény levezetése
A WKB közelítés során a hullámfüggvényt a $\Psi(x) = A(x) e^{i\phi(x)}$ alakban keressük, ahol $A(x)$ az amplitúdó, $\phi(x)$ pedig a fázis. A korábbi $e^{iS(x)/\hbar}$ alakkal összevetve láthatjuk, hogy $S(x) = \hbar \phi(x)$.
Helyettesítsük be a $\Psi(x) = e^{iS(x)/\hbar}$ alakot a stacionárius Schrödinger-egyenletbe:
$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} (e^{iS(x)/\hbar}) + V(x) e^{iS(x)/\hbar} = E e^{iS(x)/\hbar}$
Elvégezve a deriválásokat:
$\frac{d}{dx} (e^{iS(x)/\hbar}) = \frac{iS'(x)}{\hbar} e^{iS(x)/\hbar}$
$\frac{d^2}{dx^2} (e^{iS(x)/\hbar}) = \left( \frac{iS”(x)}{\hbar} – \frac{(S'(x))^2}{\hbar^2} \right) e^{iS(x)/\hbar}$
Ezt behelyettesítve a Schrödinger-egyenletbe, és osztva $e^{iS(x)/\hbar}$-nel:
$-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{iS”(x)}{\hbar} – \frac{(S'(x))^2}{\hbar^2} \right) + V(x) = E$
Rendezve az egyenletet:
$\frac{1}{2m} (S'(x))^2 – \frac{i\hbar}{2m} S”(x) + V(x) – E = 0$
Sorfejtés a Planck-állandó szerint
Most feltételezzük, hogy $S(x)$ sorba fejthető $\hbar$ hatványai szerint:
$S(x) = S_0(x) + \hbar S_1(x) + \hbar^2 S_2(x) + \dots$
Ezt behelyettesítve az egyenletbe, és a különböző rendű tagokat csoportosítva kapjuk a WKB közelítés alapegyenleteit.
Nulladik rendű közelítés ($\hbar^0$ tagok):
$\frac{1}{2m} (S_0′(x))^2 + V(x) – E = 0$
Ez az egyenlet megegyezik a klasszikus mechanika Hamilton-Jacobi egyenletével. Ebből kifejezhető $S_0′(x)$:
$S_0′(x) = \pm \sqrt{2m(E-V(x))} = \pm p(x)$
Ahol $p(x)$ a klasszikus impulzus. Integrálva kapjuk $S_0(x)$-et:
$S_0(x) = \pm \int p(x) dx$
Ez a klasszikus akciófüggvény. Ahol $E > V(x)$, ott $p(x)$ valós, és a hullámfüggvény oszcilláló jellegű (klasszikusan megengedett tartomány). Ahol $E < V(x)$, ott $p(x)$ képzetes, és a hullámfüggvény exponenciálisan csillapodik (klasszikusan tiltott tartomány).
Első rendű közelítés ($\hbar^1$ tagok):
A $\hbar$ első hatványánál álló tagokból az alábbi egyenlet adódik:
$\frac{1}{m} S_0′(x) S_1′(x) – \frac{i}{2m} S_0”(x) = 0$
Ebből $S_1′(x)$ kifejezhető:
$S_1′(x) = \frac{i}{2} \frac{S_0”(x)}{S_0′(x)} = \frac{i}{2} \frac{d}{dx} (\ln S_0′(x))$
Integrálva kapjuk $S_1(x)$-et:
$S_1(x) = \frac{i}{2} \ln(S_0′(x)) = \frac{i}{2} \ln(p(x))$
Az integrálási állandót elhagyhatjuk, mivel az csak egy multiplikatív konstansban jelenne meg a hullámfüggvényben. Most, hogy megvan $S_0(x)$ és $S_1(x)$, összeállíthatjuk a teljes $S(x)$ függvényt első rendben:
$S(x) \approx S_0(x) + \hbar S_1(x) = \pm \int p(x)dx + \frac{i\hbar}{2} \ln(p(x))$
A végső hullámfüggvény
Helyettesítsük vissza ezt az $S(x)$ kifejezést a hullámfüggvény $\Psi(x) = e^{iS(x)/\hbar}$ alakjába:
$\Psi(x) \approx \exp\left( \frac{i}{\hbar} \left( \pm \int p(x)dx + \frac{i\hbar}{2} \ln(p(x)) \right) \right)$
Az exponenciális függvény tulajdonságait kihasználva ezt két részre bonthatjuk:
$\Psi(x) \approx \exp\left( \pm \frac{i}{\hbar} \int p(x)dx \right) \cdot \exp\left( \frac{i}{\hbar} \cdot \frac{i\hbar}{2} \ln(p(x)) \right)$
A második tag egyszerűsödik:
$\exp\left( -\frac{1}{2} \ln(p(x)) \right) = \exp\left( \ln(p(x)^{-1/2}) \right) = \frac{1}{\sqrt{p(x)}}$
Így megkapjuk a WKB közelítésben a hullámfüggvény általános alakját. A két lehetséges előjel miatt a teljes megoldás ezek lineáris kombinációja:
$\Psi(x) \approx \frac{1}{\sqrt{p(x)}} \left( C_+ e^{\frac{i}{\hbar}\int p(x)dx} + C_- e^{-\frac{i}{\hbar}\int p(x)dx} \right)$
Ez a formula a WKB közelítés központi eredménye. Az $1/\sqrt{p(x)}$ tényezőnek intuitív fizikai jelentése van: ahol a részecske klasszikus impulzusa, $p(x)$, nagy (tehát gyorsan mozog), ott a megtalálási valószínűsége kicsi. Ahol lassú, ott a megtalálási valószínűsége nagyobb. Ez összhangban van a klasszikus mechanikával.
Megoldások a klasszikusan megengedett és tiltott tartományokban
A WKB hullámfüggvény viselkedése drámaian eltér attól függően, hogy a részecske teljes energiája ($E$) nagyobb vagy kisebb, mint a potenciális energia ($V(x)$).
Klasszikusan megengedett tartomány ($E > V(x)$)
Ebben a tartományban a $p(x) = \sqrt{2m(E-V(x))}$ valós szám. A hullámfüggvény exponenciális tagjai komplexek, ami oszcilláló viselkedést eredményez. Az Euler-formula segítségével a megoldás szinusz és koszinusz függvények szuperpozíciójaként is felírható:
$\Psi(x) \approx \frac{A}{\sqrt{p(x)}} \sin\left(\frac{1}{\hbar}\int p(x)dx\right) + \frac{B}{\sqrt{p(x)}} \cos\left(\frac{1}{\hbar}\int p(x)dx\right)$
Ez egy hullámszerű megoldás, amelynek amplitúdója és hullámhossza lassan változik a térben. A hullámhossz helyileg a de Broglie-hullámhosszal, $\lambda(x) = h/p(x)$, egyezik meg.
Klasszikusan tiltott tartomány ($E < V(x)$)
Itt a $p(x) = \sqrt{2m(E-V(x))}$ tiszta képzetes szám. Definiálhatjuk a valós $\kappa(x) = \sqrt{2m(V(x)-E)}$ mennyiséget, így $p(x) = i\kappa(x)$. Ezt behelyettesítve a hullámfüggvénybe, az exponenciálisok argumentuma valós lesz:
$\Psi(x) \approx \frac{1}{\sqrt{\kappa(x)}} \left( C_1 e^{\frac{1}{\hbar}\int \kappa(x)dx} + C_2 e^{-\frac{1}{\hbar}\int \kappa(x)dx} \right)$
Ez a megoldás exponenciálisan növekvő és csökkenő részekből áll. A fizikailag releváns esetekben (például egy potenciálgátba behatoló részecskénél) a növekvő megoldást elvetjük, mivel az a végtelenbe tartana. Így a hullámfüggvény ebben a tartományban exponenciálisan csillapodik.
A fordulópontok problémája és a csatolási formulák
A WKB közelítés ott mond csődöt, ahol $E=V(x)$. Ezeket a pontokat klasszikus fordulópontoknak nevezzük, mivel itt a klasszikus részecske megállna és visszafordulna. Matematikailag a probléma az, hogy $p(x)=0$ a fordulópontban, így a $\frac{1}{\sqrt{p(x)}}$ tényező divergenssé válik. A WKB érvényességi feltétele is sérül itt.
A probléma megoldására úgynevezett csatolási formulákat (connection formulas) dolgoztak ki. Ezek a formulák hidat képeznek a klasszikusan megengedett és tiltott tartományok megoldásai között, áthidalva a fordulópont körüli problematikus régiót. A levezetésükhöz a Schrödinger-egyenletet a fordulópont közelében kell megoldani, ahol a potenciált lineárissal közelítjük. A megoldás ekkor az Airy-függvényekkel írható le.
Egy tipikus csatolási formula, amely egy jobboldali fordulópontot ($a$) köt össze, a következőképpen néz ki:
A klasszikusan tiltott tartományban ($x>a$) lévő, lecsengő megoldás:
$\frac{C}{\sqrt{\kappa(x)}} \exp\left(-\frac{1}{\hbar} \int_a^x \kappa(x’)dx’\right)$
csatlakozik a klasszikusan megengedett tartományban ($x
$\frac{2C}{\sqrt{p(x)}} \cos\left(\frac{1}{\hbar} \int_x^a p(x’)dx’ – \frac{\pi}{4}\right)$
A $\pi/4$ fáziseltolódás kulcsfontosságú a kvantálási feltételek levezetésénél.
A WKB közelítés fő alkalmazásai
A módszer ereje a széleskörű alkalmazhatóságában rejlik. Számos olyan fizikai probléma megértéséhez járult hozzá, amelyek analitikusan nem kezelhetők.
Alagúteffektus és alfadebomlás
Az egyik leglátványosabb alkalmazás a kvantummechanikai alagúteffektus leírása. A WKB közelítés segítségével megbecsülhető a valószínűsége annak, hogy egy részecske egy olyan potenciálgáton hatol át, amelynek energiája magasabb, mint a részecske saját energiája. A transzmissziós együttható (T) közelítőleg:
$T \approx \exp\left(-\frac{2}{\hbar}\int_a^b \kappa(x) dx\right)$
ahol $[a, b]$ a gát szélessége a klasszikusan tiltott tartományban. Ez a formula magyarázza meg az alfadebomlást, ahol egy alfarészecske (héliumatommag) alagutazik ki az atommag vonzó potenciáljából. A formula helyesen adja vissza a felezési idők rendkívül erős energiafüggését.
Kötött állapotok és a Bohr-Sommerfeld kvantálási feltétel
Potenciálvölgybe zárt részecskék esetén a WKB közelítés lehetővé teszi a diszkrét energiaállapotok meghatározását. Egy potenciálvölgynek két fordulópontja van. A csatolási formulák mindkét pontra való alkalmazása egy konzisztenciafeltételt eredményez a hullámfüggvényre. Ez a feltétel csak bizonyos energiáknál teljesül, ami az energia kvantálásához vezet.
Az eredmény a híres Bohr-Sommerfeld kvantálási feltétel:
$\int_a^b p(x)dx = \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi\hbar, \quad n = 0, 1, 2, \dots$
Ez a formula figyelemreméltó pontossággal adja meg sok rendszer (például a harmonikus oszcillátor) energiaszintjeit, különösen magasabb kvantumszámok ($n$) esetén.
Összegzés
A Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) közelítés egy rendkívül hatékony és elegáns eszköz a kvantummechanika eszköztárában. Lehetővé teszi, hogy betekintést nyerjünk a bonyolult rendszerek viselkedésébe, áthidalva a szakadékot a klasszikus intuíció és a kvantumvilág paradox jelenségei között. Bár megvannak a maga korlátai – elsősorban a klasszikus fordulópontoknál való érvénytelensége –, a csatolási formulák segítségével ezek a nehézségek is áthidalhatók.
Az alagúteffektus valószínűségének kiszámításától a kötött állapotok energiáinak meghatározásáig a WKB módszer elméleti és gyakorlati jelentősége megkérdőjelezhetetlen. A mai napig alapvető szerepet játszik a fizikában és a kémiában, bizonyítva, hogy a jól megválasztott közelítések néha mélyebb megértést nyújthatnak, mint a nehezen kezelhető egzakt megoldások.
